آته یا و مدهاجی (2011) شکل چندمتغیره هایی از توزیع کوشی تعمیم یافته بریده (TGCD) را ارایه کرده اند که توسط آته یا و الحسینی در سال 2007 معرفی شده بود. شکل چندمتغیره (TGCD) به صورت (MVTGCD) نشان داده می شود. از جمله ویژگی های این شکل آن است که زیربردارها و زیربردارهای شرطی بردارهای تصادفی توزیع شده بر اساس این توزیع از همان شکل توزیع (MVTGCD) برخوردارند. تابع چگالی توام، تابع چگالی شرطی، تابع مولد گشتاور و گشتاورهای آمیخته را نیز معرفی کرده اند. همچنین، همه پارامترهای توزیع را با استفاده از ماکسیمم درستنمایی و روش های بیزی براورد کرده اند.  در این مقاله، برای به دست آوردن بازه های پیشگویی چگال ترین پسین (HPD) مشاهده های آینده از روی توزیع کوشی تعمیم یافته و بریده دومتغیره (BVTGCD) از دیدگاه ارایه شده توسط الحسینی و آته یا (2010) استفاده شده است.

یکی از موضوعات مهم در آنالیز فضایی فازی، پیشگویی یک مقدار نامعلوم در موقعیت های مشخص بر اساس بردار مشاهدات فضایی فازی است. با فرض معلوم بودن پارامترهای میانگین و کواریانس، پیشگوی بهینه و میانگین مجذور خطای پیشگو با استفاده از روشهای کریگینگ قابل تعیین است، اما وقتی پارامترهای مدل نامعلوم هستند، معمولا برآوردهای آنها بعنوان مقادیر واقعی در پیشگوی بهینه جایگذاری می شوند، که در اینصورت بهینگی پیشگو مورد تردید قرار می گیرد. از طرفی تعیین این پیشگو و میانگین مجذور خطای آن عموما دشوار است. لذا در این مقاله برای رفع مشکل مذکور، با استفاده از رهیافت بیزی کریگینگ فازی را برای پیشگویی مشاهدات فضایی فازی به کریگینگ فازی تعمیم داده، سپس کارایی آن در یک مثال کاربردی با روشهای دیگر پیشگویی فضایی مورد مقایسه قرار می گیرد.

یکی از موضوعات مهم در تحلیل داده های فضایی، پیشگویی مقدار نامعلوم یک میدان تصادفی موقعیتهای مشخص بر اساس بردار مشاهدات است. اگر میدان تصافی مورد نظر گاوسی با ساختار میانگین و کوواریانس پارامتری باشد. پیشگویی بهینه و میانگین مجذور خطای آن قابل محاسبه است. اما در عمل با موارد زیادی مواجه می شویم که مشاهدات از مدل گاوسی تبعیت نمی کنند. در اینگونه موارد اگر تبدیلی غیر خطی از میدان تصادفی، گاوسی باشد پیشگویی فضایی امکانپذیر می گردد. اما اگر تبدیل نامعلوم باشد، می توان آنرا متعلق به یک خانواده از تبدیلات پارامتری دانست. در اینصورت پیشگویی فضایی علاوه بر پارامترهای مدل به پارامتر تبدیل نیز وابسته خواهد شد و معمولا برآوردهای حداکثر درست نمایی آنها تعیین و در پیشگوی بهینه جایگذاری می شود. اما این کار موجب تردید در بهینگی پیشگویی حاصل خواهد شد. از طرف دیگر، معمولا تعیین میانگین مجذور خطای این پیشگو یا حتی ارائه تقریب مناسبی برای آن بسیار دشوار یا نشدنی است. لذا در این مقاله برای فائق آمدن بر این مسائل، رهیافت بیزی اتخاذ گردیده و با فرض آنکه پارامترهای مدل و تبدیل متغیرهایی تصادفی هستند. پیشگوی بهینه و میانگین مجذور آن تعیین می شوند و نحوه اجرای این تکنیک در یک مثال کاربردی ارائه خواهد شد.

تحلیل داده های فضایی از جمله پیشگویی معمولا با فرض نرمال بودن داده ها انجام می شود. این در حالی است که چنین فرضی اغلب در عمل برقرار نمی باشد. گاهی اوقات نرمال نبودن داده ها از وجود داده های دورافتاده ناشی می شود. در این حالت پالاسیوس و استیل (2006) تعمیمی از مدل گاوسی تحت عنوان مدل گاوسی-لگ گاوسی پیشنهاد نموده و تحلیل بیزی آن را با استفاده از روش های مونت کارلوی زنجیر مارکوفی ارایه کردند. از جمله بر مبنای عامل بیزی به شناسایی داده های دورافتاده پرداختند. از آن جا که محاسبه عامل بیزی بسیار دشوار می باشد، در این مقاله چگال ترین ناحیه پسینی برای شناسایی داده های دورافتاده پیشنهاد می شود. چون توزیع پسین دارای فرم بسته ای نمی باشد، برای تعیین این ناحیه از الگوریتم چن و شو استفاده می شود. همچنین بر اساس یک مثال شبیه سازی و بکارگیری معیار میانگین مجذور خطای پیشگویی، قابلیت مدل گاوسی-لگ گاوسی برای پیشگویی بیزی استوار نشان داده می شود. سپس با استفاده از این مدل، پیشگویی بیزی داده های آلودگی هوای شهر تهران ارایه شده و عملکرد آن مورد ارزیابی قرار می گیرد.

پیشگویی فضایی مقدار نامعلوم یک میدان تصادفی گوسی بر اساس مشاهدات فاقد نوفه، امکان پذیر می باشد. اما در عمل بدلیل خطاهای اندازه گیری، با مواردی مواجه می شویم که مشاهدات دارای نوفه هستند. با فرض آنکه این نوفه ها متغیرهای تصادفی مستقل و هم توزیع N (0, τ2) و مستقل از میدان تصادفی مورد نظر باشند و در صورت معلوم بودن پارامترهای مدل، شامل پارامترهای مربوط به ساختارهای میانگین و کوواریانس فضایی و τ2، پیشگوی بهینه و میانگین مجذور خطای آن قابل تعیین هستند. اما اگر تعدادی از پارامترهای مدل نامعلوم باشند، تعیین پیشگوی بهینه و میانگین مجذور خطای آن به روشهای معمول امکان پذیر نیست. هنگامی که مشاهدات فاقد نوفه هستند، رهیافت بیزی می تواند در این خصوص راه گشا باشد، لذا در این مقاله با اتخاذ رهیافت بیزی فرض می شود پارامترهای مدل متغیرهایی تصادفی با توزیع پیشین سره هستند، که در اینصورت سره بودن توزیع پسین تضمین می شود، پیشگوی بهینه و میانگین مجذور خطای آن تعیین خواهد شد.

برای پیشگویی بیزی یک مدل فضایی – زمانی گاوسی، پارامترهای نامعلوم مدل بعنوان متغییر متغییرهای تصادفی با توزیعهای پیشین معلوم در نظر گرفته می شود و با گسسته سازی فضای پارامتر، توزیعهای پیسین و پیشگوی بیزی تقریبی تعیین می شوند. در این مقاله با فرض پارامتری بودن توزیع های پیشین و اتخاذ رهیافت بیز تجری توزیع پیشین را برآورد نموده و با جایگذاری آن در توزیع پیشگوی بیزی، پیشگوی فضایی – زمانی بیز تجربی و واریانس پیشگویی محاسبه می شوند. سپس در یک مثال کاربردی نحوه محاسبه این پیشگو و واریانسی پیشگویی ارایه می شود. به علاوه بر اساس معیار اعتبارسنجی متقابل دقت این پیشگو مورد ارزیابی قرار می گیرد.